Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & - 4 \\ - 2 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(4 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$p (λ) = 8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- 4 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- (- 2 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 8$

Passaggio 1.5.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 8$

Passaggio 1.5.2.2

Combina i termini opposti in $8 - 6 λ + λ^{2} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 0$

Passaggio 1.5.2.2.2

Somma $- 6 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2}$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 6 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 6 λ = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $λ$ da $λ^{2} - 6 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $λ$ da $λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 6 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi $λ$ da $- 6 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 6 = 0$

Passaggio 1.7.1.3

Scomponi $λ$ da $λ \cdot λ + λ \cdot - 6$ .

$λ (λ - 6) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 6 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ - 6$ uguale a $0$ .

$λ - 6 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 6$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $λ (λ - 6) = 0$ vera.

$λ = 0, 6$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 + 0 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 4}{4} & \frac{0}{4} \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 4 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $6$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 + 0 & 2 - 6 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & 2 - 6 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Sottrai $6$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$